拉普拉斯变换的收敛域、逆变换

$e^{-at}$$e^{-at}$的拉普拉斯变换和收敛域(Region of Convergence)

在讨论拉普拉斯变换的收敛域之前，我们先来求一个信号的拉普拉斯变换。我们已知拉普拉斯变换的定义：

对于$e^{-at}$$e^{-at}$，我们代入可以得到：

这里的$s=\sigma +j\omega$$s=\sigma+j\omega$是一个复数，我们进一步计算的话，会得到：

对于这里的$e^{-j\omega t}$$e^{-j\omega t}$是收敛的，我们可以根据欧拉公式把它写作：

它实际上是复平面上的一个单位圆，对于输入的信号来讲，只是提供了振幅为$1$$1$的振动，并不影响输入信号的敛散性。我们只需要考虑$e^{-(a+\sigma )t}$$e^{-(a+\sigma)t}$这部分是否是收敛的。

当我们把积分的下限$0$$0$代入时，可以得到值为$\frac{-1}{a+\sigma }$$\frac{-1}{a+\sigma}$，但代入积分的上限时，我们就需要考虑$e^{-(a+\sigma )t}$$e^{-(a+\sigma)t}$是否收敛的问题了。当$-(a+\sigma )<0$$-(a+\sigma)<0$，也就是$\sigma >-a$$\sigma>-a$时，$e^{-(a+\sigma )t}$$e^{-(a+\sigma)t}$收敛到$0$$0$，否则会发散到$\mathrm{\infty }$$\infty$。

到这里，我们实际上已经得到了$e^{-at}$$e^{-at}$的收敛域了，也就是复平面上实部大于$-a$$-a$的部分。

在它的收敛域上，我们可以给出它的拉普拉斯变换：

实际上，拉普拉斯变换收敛域就是使信号$f(t)$$f(t)$的拉普拉斯变换$F(s)$$F(s)$存在的$s$$s$区域。

通过同样的方式，我们还可以推出其他信号例如$t$$t$、$sin(\omega t)$$sin(\omega t)$的拉普拉斯变换及其收敛域。在下面这个表中，给出了常用的拉普拉斯变换及其收敛域：

拉普拉斯逆变换(Inverse Laplace Transform)

我们知道，拉普拉斯变换是将时域的信号转换到复数域。顾名思义，拉普拉斯逆变换就是将复数域的信号再转换回时域。

下面给出两个求拉普拉斯逆变换的例子:

例一、$F(s)=\frac{-s+5}{s^2+5s+4}$$F(s)=\frac{-s+5}{s^2+5s+4}$

对分母进行因式分解：

在把$F(s)$$F(s)$化为部分分式和的过程中，我们可以选择设：

然后求解：

拆分为部分分式和后，对结果进行拉普拉斯逆变换：

如果仔细观察拉普拉斯逆变换的结果中$e$$e$的次幂系数$-1$$-1$和$-4$$-4$，它们实际上就是$F(s)$$F(s)$的两个极点。

例二、$F(s)=\frac{4s+8}{s^2+2s+5}$$F(s)=\frac{4s+8}{s^2+2s+5}$

令$s^2+2s+5=0$$s^2+2s+5=0$，得：

故：

对结果进行拉普拉斯逆变换：

我们将结果这部分化简，提出公因式$e^{-t}$$e^{-t}$，可以得到：

根据欧拉公式：

可以进一步将结果化简为：

我们可以发现这个结果与它的极点也有着密切的联系，$e$$e$的次幂系数为$-1$$-1$正是它极点的实部，而$2i$$2i$则对应着解中振动的部分。