拉普拉斯变换（Laplace transform）

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换。

拉氏变换将时域的函数$f(t)$$f(t)$转换为复数域的函数$F(s)$$F(s)$。这里的s是复数。

对于一个动态系统，比如下面的电路系统：

我们可以写出它的动态系统微分方程：

这里，$e^{\prime }$$e'$是这个系统的输入，$i$$i$是这个系统的输出。如果从时域来分析这个系统，我们得到系统的输出$i(t)$$i(t)$实际上是由输入$e^{\prime }(t)$$e'(t)$和系统的单位脉冲响应$g(t)$$g(t)$通过卷积得到的。

但求解像$(2)$$(2)$式这样的微分方程有时候是不太容易的，这就是为什么要引入拉普拉斯变换的原因，它可以将微分方程转换为代数方程求解，这大大简化的求解的过程。

拉普拉斯变换和傅里叶变换

下面我们来看拉普拉斯变换的做法：

通过这样的变换，将f(t)从原本时间的函数转换到了复平面上的一个函数。我们可以注意到，当 $\sigma$$\sigma$ 取不同的值时，可以得到不同的虚部$j\omega$$j\omega$和$L(s)$$L(s)$之间的关系，如图中红、绿、橙三条曲线所示的那样。如果我们取$\sigma$$\sigma$为0，也就是实部为0的时候，就得到了$L(j\omega )$$L(j\omega)$和$j\omega$$j\omega$之间的关系。

从公式上来看，我们取$s=j\omega$$s=j\omega$，得到：

这就变为了$f(t)$$f(t)$的傅里叶变换（Fourier Transform）。

拉普拉斯变换的几个性质

线性定理

这一点不难理解，拉普拉斯变换本质上是进行了积分运算，可以很容易证明它是线性的。

微分定理

下面我们分析，当时域为$f(t)$$f(t)$的导数时，它的拉普拉斯变换是怎样的。

这里需要用到分部积分的知识，我们回忆一下：

利用$(8)$$(8)$式，

这里$f(0)$$f(0)$是0时刻时的值，也就是初始条件，往往可以取0，此时$\mathcal{L}[f^{\prime }(t)]=sF(s)$$\mathscr L[f'(t)]=sF(s)$

如果要进一步求二阶导的话，我们也不难得到：

卷积定理

这是一条比较重要的性质，这阐释了为什么拉普拉斯变化能把微分方程转化为代数方程求解。

根据卷积的定义，我们有：

对它们的卷积进行拉普拉斯变换：

这是一个二重积分，内层对$\tau$$\tau$从$0\to t$$0\to t$积分，外层对$t$$t$从$0\to \mathrm{\infty }$$0\to \infty$积分，下面通过画图的方式来分析这个积分域：

若先对$\tau$$\tau$积分，如左图所示，在t取不同的值时，$\tau$$\tau$每次从0积到$\tau$$\tau$，积分域是上面这个三角区域。若要改为先对$t$$t$积分，如右图所示。则在$\tau$$\tau$取不同值时，t每次从$\tau$$\tau$积到$\mathrm{\infty }$$\infty$。

我们先对t进行积分，可以得到：

对于内层积分，我们令$t-\tau =u$$t-\tau = u$，则$dt=du+d\tau =du$$dt=du+d\tau = du$（对于内层来说，$\tau$$\tau$为常数），$u$$u$的积分项相应变为了从$0\to \mathrm{\infty }$$0\to\infty$。

从而我们可以得出结论：

也就是时域的卷积相当于频域的乘积。

再分析电路

有了以上的知识，我们再来看文章开始提到的$RLC$$RLC$串联电路。

我们对（2）式的两端都进行傅里叶变换，得到：

就可以得到了系统的输入输出关系：

这样我们就得到了这个动态系统的数学模型，$E(s)$$E(s)$前面的部分是这个系统的传递函数，相比于时域而言，这里的输出等于输入和传递函数的乘积，而在时域中，输出为输入和单位脉冲响应的卷积。